La purezza geometrica della quadratura del cerchio

Costruire servendosi solo di riga e compasso, e in un numero finito di passi, un quadrato con area uguale a quella di un cerchio assegnato. È questo il noto problema della quadratura del cerchio. Un problema apparso per la prima volta nel 1650 a.C. sul papiro di Rhind, nella forma: "Togli 1/9 ad un diametro e costruisci sulla parte rimanente un quadrato. Questo quadrato ha la stessa area del cerchio".

Il valore al pi-greco

Secondo tale procedimento si finisce per attribuire a pi-greco il valore di 3,16049…, con un errore dell'1% rispetto a quello oggi noto. Per inquadrare esattamente la natura del problema, e cogliere quindi il significato profondo della sua possibilità, occorre focalizzare l'attenzione sugli strumenti ritenuti legittimi per la sua soluzione, vale a dire riga e compasso. Fedeli ad un modello di indagine basato sull'idea che le questioni geometriche sono indipendenti dal concetto di misura e quindi di numero, e che la misurazione è un'operazione concettuale non legata all'uso di strumenti graduati, i matematici greci attribuirono alla quadratura delle figure curvilinee, tra cui il cerchio, i contorni e i risvolti di un problema di natura filosofica, spesso senza speranza.

Anassagora di Clezomene, il maestro di Pericle, finito in carcere per aver affermato che il sole non era un Dio, ma solo una pietra incandescente, fu tra i primi ad occuparsi della quadratura del cerchio e ad a perfezionarne i procedimenti in uso per delineare le scene dei teatri.

La scoperta della quadratrice

Dopo di lui, e con un contributo ben più significativo, si ricorda Ippia di Elide, a cui si attribuisce la scoperta di una nuova curva - la quadratrice - applicabile non solo alla misura del cerchio, ma anche al terzo dei più celebri problemi della geometria elementare, la trisezione dell'angolo.

E l'elenco potrebbe continuare, ma qui ci interessa sottolineare, più dei tentativi, come la limitazione stabilita esplicitamente dalla scuola di Platone, per la quale cui il compasso serviva solamente per trasportare segmenti e la riga per congiungere punti, rendesse impraticabile qualunque tentativo di risoluzione del problema.

La possibilità di considerare solo rette e circonferenze divenne esclusivamente razionale e teorica quando venne consentita dai primi tre postulati degli Elementi di Euclide. Per quadrare il cerchio occorreva però uscire fuori dei canoni platonici, affiancando all'uso razionale di riga e compasso qualche altro modo di disegnare curve. La quadratrice di Ippia, per esempio, si ottiene dal moto risultante da due movimenti uniformi simultanei a partire da un quadrato in cui un lato si muove parallelamente a se stesso andando a sovrapporsi al lato opposto e un altro lato, nel contempo, ruota sovrapponendosi allo stesso lato cui si sovrappone il primo. Il movimento necessario al tracciamento della curva inquinava, secondo Platone, la purezza della geometria. Ci volle il più straordinario esempio di investigatore scientifico che la storia della matematica abbia conosciuto, vale a dire Archimede di Siracusa, perché il problema della quadratura del cerchio potesse liberarsi dai vincoli a cui lo aveva sottoposto la camicia di forza platonica.

Circonferenza e diametro

A differenza dei geometrici anteriori, Archimede sostituì la ricerca di una costruzione con quello della misura, mettendo in evidenza l'identità sostanziale tra la quadratura del cerchio e la rettificazione della circonferenza. Così, determinò il rapporto tra la circonferenza di un cerchio ed il suo diametro considerando poligoni regolari inscritti e circoscritti partendo dall'esagono regolare e raddoppiando successivamente il numero dei lati sino a giungere al poligono di 96 lati. Pubblicò i suoi lavori nel libro Sulla misurazione del cerchio, dove si legge che la circonferenza di ogni cerchio è tripla del diametro, più una parte minore di un settimo del diametro e maggiore di dieci settantunesimi. Se si fa una media tra i due valori si ottiene 3,1419, con un errore di meno dei tre decimillesimi sul valore reale.

Inoltre, concluse che l'area di un cerchio era con grande approssimazione 11/14 del quadrato del suo diametro. Dopo aver mostrato come la via più semplice per ottenere la quadratura del cerchio sia quella di riuscire a costruire il rapporto tra la circonferenza ed il suo diametro, la soluzione con strumenti euclidei della quadratura si sarebbe potuta trovare stabilendo il valore razionale di pi-greco.

La soluzione

La questione fu definitivamente risolta nel 1882, da Carl Louis Ferdinand Lindemann, dimostrando che pi-greco, oltre ad essere irrazionale, era anche trascendente. Era quindi definitivamente impossibile quadrare il cerchio solo con riga e compasso, e in un numero finito di passi. La soluzione quindi si può ottenere soltanto attraverso il calcolo e non seguendo un metodo empirico che lascia aperto un margine di errore troppo elevato.

Paolo Gregorelli